U ponedeljak 26. oktobra 2026. godine u Klubu nastavnika na Departmanu za matematiku i informatiku/Departmanu za fiziku biće održano predavanje dr Miloša Kurilića (Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Novom Sadu) pod nazivom „Votova pretpostavka za proizvode drveta“.

Sažetak: Drvo je parcijalno uređenje {\mathbb X}=\langle X,\leq\rangle takvo da je \{y\in X:y\leq x\} linearno uređenje, za svako x\in X. Neka je {\mathcal C}^{\rm rt} klasa drveta sa korenom i \langle{\mathcal C}^{\rm rt}\rangle_{\dot{\cup}\Pi} njeno minimalno zatvorenje u odnosu na izomorfizam, konačne direktne proizvode i konačne disjunktne unije. Svako parcijalno uređenje iz \langle{\mathcal C}^{\rm rt}\rangle_{\dot{\cup}\Pi} je izomorfno nekom oblika

    \[{\mathbb X} = \dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb X}_i^j,\]

gde su faktori {\mathbb X}_i^j iz {\mathcal C}^{\rm rt}.

Neka je {\mathcal T}:=\operatorname{Th}({\mathbb X}), {\mathcal T}_i^j:=\operatorname{Th}({\mathbb X}_i^j), za i<n i j<m_i, i

    \[\kappa=\prod_{i<n}\prod_{j<m_i}I({\mathcal T}_i^j),\]

gde je I({\mathcal T}) broj neizomorfnih prebrojivih modela teorije {\mathcal T}. Tada imamo:

(a) Votova pretpostavka je tačna za {\mathcal T}: I({\mathcal T})=\kappa, ako je \kappa\in\{1,\omega,\mathfrak{c}\}; inače je I({\mathcal T})\in[3,\omega). Specijalno, teorija {\mathcal T} je \omega-kategorična ako i samo ako su sve teorije {\mathcal T}_i^j, za i<n i j<m_i, \omega-kategorične.

(b) {\mathbb Y}\equiv{\mathbb X} ako i samo ako

    \[{\mathbb Y}\cong\dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb Y}_i^j,\]

gde je {\mathbb Y}_i^j\equiv{\mathbb X}_i^j, za sve i<n i j<m_i.

(v) {\mathbb E}\preccurlyeq{\mathbb X} ako i samo ako

    \[{\mathbb E}=\dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb E}_i^j,\]

gde je {\mathbb E}_i^j\preccurlyeq{\mathbb X}_i^j, za sve i<n i j<m_i.

(g) {\mathcal T} je atomska ako i samo ako su {\mathcal T}_i^j, za i<n i j<m_i, atomske. Tada je

    \[\dot{\bigcup}_{i<n}\prod_{j<m_i}{\mathbb A}_i^j\]

prebrojiv atomski model teorije {\mathcal T}, gde je {\mathbb A}_i^j prebrojiv atomski model teorije {\mathcal T}_i^j, za i<n i j<m_i.

(d) {\mathcal T} je mala ako i samo ako su {\mathcal T}_i^j, za i<n i j<m_i, male. Tada je

    \[\dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb S}_i^j\]

prebrojivo zasićen model teorije {\mathcal T}, gde je {\mathbb S}_i^j prebrojivo zasićen model teorije {\mathcal T}_i^j, za i<n i j<m_i.

Reference:

[1] J. R. Steel, On Vaught’s conjecture. Cabal Seminar 76/77 (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976/77), pp. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978.

[2] R. L. Vaught, Denumerable models of complete theories, 1961 Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warsaw, 1959), pp. 303–321, Pergamon, Oxford; Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsaw.