У понедељак 26. октобра 2026. године у Клубу наставника на Департману за математику и информатику/Департману за физику биће одржано предавање др Милоша Курилића(Природно-математички факултет Универзитета у Новом Саду) под називом „Вотова претпоставка за производе дрвета“.

Сажетак:Дрво је парцијално уређење {\mathbb X}=\langle X,\leq\rangleтакво да је \{y\in X:y\leq x\}линеарно уређење, за свако x\in X. Нека је {\mathcal C}^{\rm rt}класа дрвета са кореном и \langle{\mathcal C}^{\rm rt}\rangle_{\dot{\cup}\Pi}њено минимално затворење у односу на изоморфизам, коначне директне производе и коначне дисјунктне уније. Свако парцијално уређење из \langle{\mathcal C}^{\rm rt}\rangle_{\dot{\cup}\Pi}је изоморфно неком облика

    \[{\mathbb X} = \dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb X}_i^j,\]

где су фактори {\mathbb X}_i^jиз {\mathcal C}^{\rm rt}.

Нека је {\mathcal T}:=\operatorname{Th}({\mathbb X}), {\mathcal T}_i^j:=\operatorname{Th}({\mathbb X}_i^j), за i<nи j<m_i, и

    \[\kappa=\prod_{i<n}\prod_{j<m_i}I({\mathcal T}_i^j),\]

где је I({\mathcal T})број неизоморфних пребројивих модела теорије {\mathcal T}. Тада имамо:

(а)Вотова претпоставка је тачна за {\mathcal T}: I({\mathcal T})=\kappa, ако је \kappa\in\{1,\omega,\mathfrak{c}\}; иначе је I({\mathcal T})\in[3,\omega). Специјално, теорија {\mathcal T}је \omega-категорична ако и само ако су све теорије {\mathcal T}_i^j, за i<nи j<m_i, \omega-категоричне.

(б) {\mathbb Y}\equiv{\mathbb X}ако и само ако

    \[{\mathbb Y}\cong\dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb Y}_i^j,\]

где је {\mathbb Y}_i^j\equiv{\mathbb X}_i^j, за све i<nи j<m_i.

(в) {\mathbb E}\preccurlyeq{\mathbb X}ако и само ако

    \[{\mathbb E}=\dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb E}_i^j,\]

где је {\mathbb E}_i^j\preccurlyeq{\mathbb X}_i^j, за све i<nи j<m_i.

(г) {\mathcal T}је атомска ако и само ако су {\mathcal T}_i^j, за i<nи j<m_i, атомске. Тада је

    \[\dot{\bigcup}_{i<n}\prod_{j<m_i}{\mathbb A}_i^j\]

пребројив атомски модел теорије {\mathcal T}, где је {\mathbb A}_i^jпребројив атомски модел теорије {\mathcal T}_i^j, за i<nи j<m_i.

(д) {\mathcal T}је мала ако и само ако су {\mathcal T}_i^j, за i<nи j<m_i, мале. Тада је

    \[\dot{\bigcup_{i<n}}\prod_{j<m_i}{\mathbb S}_i^j\]

пребројиво засићен модел теорије {\mathcal T}, где је {\mathbb S}_i^jпребројиво засићен модел теорије {\mathcal T}_i^j, за i<nи j<m_i.

Референце:

[1] Ј. Р. Стеел, Он Ваугхт’с цоњецтуре. Цабал Семинар 76/77 (Проц. Цалтецх-УЦЛА Логиц Сем., 1976/77), пп. 193–208, Лецтуре Нотес ин Матх., 689, Спрингер, Берлин, 1978.

[2] Р. Л. Ваугхт, Денумерабле моделс оф цомплете тхеориес, 1961 Инфинитистиц Метходс (Проц. Сyмпос. Фоундатионс оф Матх., Wарсаw, 1959), пп. 303–321, Пергамон, Оxфорд; Панстwоwе Wyдаwництwо Наукоwе, Wарсаw.